Üslü Sayılar

Pozitif tam sayı üs, tabanın kaç kez çarpan olarak yazıldığını gösterir; tabanla üssü çarpmak değildir.

aⁿ ifadesinde a taban, n üstür. n pozitif tam sayıysa aⁿ, n tane a'nın çarpımıdır. Örneğin 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Önce parantez, ardından üs, çarpma/bölme ve toplama/çıkarma işlemleri yapılır.

Taban negatif veya kesirli olabilir. Üs sıfır ya da negatif olduğunda tekrar çarpım açıklaması tek başına yetmez; bu durumlarda ilgili kuralları ve tanım koşullarını kullanırız.

Negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir, tek kuvveti negatiftir. Parantez dışındaki eksi üs işleminin dışında kalır.

(−a)² ifadesinde eksi de tabanın parçasıdır; iki negatif çarpan pozitif sonuç verir. −a² ifadesi ise −(a²) demektir. Bu nedenle (−3)² = 9, fakat −3² = −9 olur.

a > 0 ve n pozitif tam sayıysa (−a)ⁿ'nin işareti üssün tek veya çift olmasına bağlıdır. Çift kuvvetli bir eşitlikten tabanın işaretini tek başına belirleyemeyiz.

a¹ = a; a ≠ 0 için a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1(aⁿ). Negatif üs sayıyı negatif yapmaz, tersini aldırır.

Sıfırın pozitif tam sayı kuvveti sıfırdır. Buna karşılık sıfırın negatif kuvveti sıfıra bölme gerektirir ve tanımsızdır. Bu temel anlatımda 0⁰ da tanımlı kabul edilmez.

1'in her tam sayı kuvveti 1'dir. (−1)'in çift tam sayı kuvvetleri 1, tek tam sayı kuvvetleri −1 olur. Negatif üs bulunan kesirde pay ve payda yer değiştirir: (23)⁻² = (32)².

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; a ≠ 0 için aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Taban aynı kalır.

Çarpmada aynı tabana ait çarpanlar bir araya geldiği için üsler toplanır. Bölmede ortak çarpanlar sadeleştiği için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Bölme kuralında taban sıfır olamaz.

Bu kurallar toplama ve çıkarma için geçerli değildir. 2³ + 2⁴, 2⁷ değildir. Tabanlar farklıysa önce aynı tabana dönüştürme olanağına bakılır.

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. b ≠ 0 için (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; ifadeler tanımlı olmalıdır.

Parantezin tamamının kuvveti alınırken her çarpana üs uygulanır. Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. Üs içindeki toplama ile çarpma farklı işlemlerdir: aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ.

(a + b)ⁿ genellikle aⁿ + bⁿ değildir. Örneğin (2 + 3)² = 25, 2² + 3² = 13 olur. Kesrin negatif tam sayı kuvvetinde pay da sıfır olmamalıdır.

Toplama/çıkarma sırasında üsler toplanmaz. Ortak üslü çarpanı parantez dışına al.

aⁿ + aⁿ = 2aⁿ olur. Üsleri farklı terimlerde ortak kuvvet ayrılır: 2⁵ + 2⁷ = 2⁵(1 + 2²). Katsayılar toplanır; ortak çarpan değişmez.

Çok büyük kuvvetlerin bulunduğu kesirlerde sayıları tek tek hesaplamak yerine ortak çarpanı ayırıp sadeleştir. Sadeleştirme toplamın tek bir terimiyle değil, pay ve paydanın tamamının ortak çarpanıyla yapılır.

Taban 1'den büyükse büyük üs daha büyük değer verir; 0 ile 1 arasındaysa büyük üs daha küçük değer verir.

Aynı pozitif tabanda a > 1 ise kuvvet üsle birlikte artar; 0 < a < 1 ise azalır. Aynı pozitif tam sayı üs için pozitif tabanların sıralaması korunur. Negatif tabanlarda önce tek/çift üs ve sonuç işareti incelenir.

Taban ve üs ikisi de farklıysa aynı taban, aynı üs veya ara bir değer kullanılır. Örneğin 8² ile 4³ aynı tabana dönüşünce ikisi de 2⁶ olur.

a > 0 ve a ≠ 1 için aˣ = aʸ ise x = y. Taban 1 olduğunda üsleri eşitlemek zorunlu değildir.

Denklemin iki tarafını aynı pozitif ve 1'den farklı tabana dönüştürdükten sonra üsleri eşitleriz. 2ˣ = 8 için 8 = 2³ yazılır ve x = 3 bulunur.

x² = 9 gibi çift kuvvetli denklemlerde x = 3 ve x = −3 mümkündür. Pozitif tabanlı üstel eşitlik ile değişkenin çift kuvveti birbirinden farklıdır.

a > 0 için a¹ᐟⁿ, a'nın n'inci dereceden köküdür. aᵐᐟⁿ, bu kökün m'inci kuvveti olarak okunabilir.

Pozitif tabanda kesirli üsler köklerle hesaplanır. a¹ᐟ² = √a ve a¹ᐟ³ = ∛a. aᵐᐟⁿ = (ⁿ√a)ᵐ biçimi, üs tam sayı değilken de anlamlı bir hesap sağlar.

Bu bölümde kesirli üs dönüşümleri pozitif tabanla sınırlandırılmıştır. Negatif tabanı kesirli üslerde gelişigüzel kullanma; tek dereceli köklerin gerçek sayı tanımı köklü sayılar bölümünde ayrıca incelenir.

Pozitif bir sayı bilimsel gösterimde c · 10ⁿ biçiminde yazılır; 1 ≤ c < 10 ve n tam sayıdır.

Virgülü sola kaydırdığında 10'un üssü pozitif, sağa kaydırdığında negatif olur. Katsayı 10'a ulaşıyorsa bir basamak daha kaydırıp üssü artır. Negatif sayılarda işaret ayrı tutulur.

Çarpmada katsayıları çarpıp 10'un üslerini topla; bölmede katsayıları bölüp üsleri çıkar. Sonuç katsayısını tekrar 1 ile 10 arasına getir.

Önce tabanı ve işlem türünü belirle, sonra kuralı seç. Sonucu görmek için bir seçenek işaretle.