Rasyonel Sayılar

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılar rasyoneldir. Payda hiçbir zaman sıfır olamaz.

Pay üstte, payda altta yazılır. Payda bütünü kaç eş parçaya ayırdığımızı, pay bu parçalardan kaçını aldığımızı anlatır. Rasyonel sayılar ℚ ile gösterilir. Her tam sayı, paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabildiğinden rasyoneldir.

Sıfır da rasyoneldir: 05 = 0. Ancak 50 tanımsızdır. √2 gibi tam sayı oranı olarak yazılamayan gerçek sayılar irrasyoneldir; √9 = 3 ise rasyoneldir.

Pay ve payda aynı işaretliyse kesir pozitiftir; zıt işaretliyse negatiftir. Pay sıfırsa, payda sıfır değilken değer sıfırdır.

Eksiyi payda yerine paya veya kesrin önüne taşıyabiliriz: 3−4 = −34. İki eksi birbirini götürür: −3−4 = 34. Karşılaştırmaya başlamadan paydayı pozitif hale getirmek işi kolaylaştırır.

Basit kesirde |pay| < |payda|, bileşik kesirde |pay| ≥ |payda| olur. Pozitif tam sayılı kesirde tam kısım ve kesir toplanır: 2 tam 13 = 73. Eksi tam sayılı gösterimde işaretin bütün toplamı etkileyip etkilemediği açık yazılmalıdır.

Pay ve paydayı aynı sıfır olmayan sayıyla çarpmak veya bölmek kesrin değerini değiştirmez.

Sadeleştirmede ortak çarpanı böler, genişletmede ortak katsayıyla çarparız. Kesri en sade hale getirmek için pay ve paydayı ortak bölenlerinin en büyüğüne bölmek yeterlidir.

Toplamdaki bir terimi paydayla doğrudan sadeleştiremezsin. Örneğin (x + 2)x ifadesinde x'ler tek başına götürülemez. Önce ortak çarpan olmalıdır; (2x)x = 2 için x ≠ 0 koşulu korunur.

Pozitif paydalarda ortak payda kullan veya çapraz çarpımları karşılaştır. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür. Pozitif kesirlerde paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür. Pay ve paydası farklı kesirlerde önce paydaları pozitif yap, sonra ortak paydaya getir.

İki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır. a < b ise (a + b)2 bu ikisinin arasındadır; aynı yöntemi yeniden kullanarak aradaki başka sayılar bulunabilir.

Paydaları eşitledikten sonra payları topla veya çıkar; ortak payda değişmez.

Parçaların boyutları farklıyken payları doğrudan toplamayız. 12 + 13 için bütün aynı sayıda parçaya ayrılmalıdır: 36 + 26. Paydaları da toplamak 25 verir ve yanlıştır.

Ortak payda seçerken en küçük ortak kat işlem yükünü azaltır. Sonuç çıktıktan sonra kesri sadeleştir; negatif terimlerin işaretlerini koru.

(ab) · (cd) = (ac)(bd); b ve d sıfır olamaz. Ortak çarpanlar çarpma öncesinde sadeleştirilebilir.

Çarpmada payda eşitlemek gerekmez. Önce işaret, sonra ortak çarpanlar, en son kalan çarpımlar incelenir. Çapraz sadeleştirme yalnız çarpım içindeki pay-payda ortak çarpanlarına uygulanır.

Bir kesirle çarpmak her zaman sayıyı büyütmez. Pozitif sayıyı 0 ile 1 arasındaki pozitif kesirle çarpmak küçültür; 1'den büyük pozitif kesirle çarpmak büyütür.

Bir kesre bölmek, o kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpmaktır. Bölen kesir sıfır olamaz.

(ab) ÷ (cd) = (ab) · (dc) olur. Bu işlemde b, c ve d sıfırdan farklıdır. İlk kesir değil, bölen kesir ters çevrilir.

Bir sayının çarpmaya göre tersiyle çarpımı 1'dir; sıfırın tersi yoktur. Bölme işlemleri parantezsiz art arda verilmişse soldan sağa ilerlenir.

Parantez ve kesir çizgisi gruplama yapar. Önce payın ve paydanın kendi işlemlerini bitir, sonra böl.

Bir uzun kesir çizgisi, payın tamamının paydanın tamamına bölündüğünü gösterir. Pay ve paydadaki toplamları birbirine karıştırma. İçteki işlemleri tamamlamak kesrin anlamını korur.

Parantezsiz çarpma ve bölme aynı önceliktedir ve soldan sağa yapılır; toplama ve çıkarma daha sonra gelir. İşaretleri adım adım taşı.

Virgülden sonra n basamak varsa sayıyı 10ⁿ paydasıyla yaz, sonra sadeleştir.

0,375 = 3751000 = 38. Tam kısım varsa virgülü kaldırdığında bütün sayıyı paya yaz: 2,35 = 235100. Başlangıçtaki eksi varsa korunur.

En sade kesrin pozitif paydasının asal çarpanları yalnız 2 ve/veya 5 ise ondalık gösterim sonludur. Başka asal çarpan varsa gösterim devirlidir. En sade biçime gelmeden bu kararı verme.

Tekrarlanan bloğu eşitlemek için uygun 10 kuvvetleriyle çarp ve çıkar; kalan denklemden kesri bul.

0,(27) gösterimi 0,272727… demektir. x = 0,(27) ise 100x = 27,(27); çıkarınca 99x = 27 olur. Parantez devir eden rakamları gösterir, çarpma değildir.

Devir öncesinde rakam varsa önce iki kaydırmayı eşleştir. x = 0,1(6) için 10x = 1,(6), 100x = 16,(6); fark 90x = 15 verir. 0,(9) = 1 eşitliği de aynı yöntemle görülür.

Bir bütünün ab'si verilmişse bütünü bulmak için verilen parçayı ab'ye böl; ab sıfır olamaz.

Bir niceliğin 35'i 24 ise nicelik 24 ÷ (35) = 40'tır. Birinci kesir 'bütünün' mü yoksa 'kalanın' mı diye soruluyorsa hangi niceliği çarptığını açıkça belirle.

Bir sayıdan bir kesri çıkarma ile sayının o kesrini çıkarma farklıdır: x − 13 başka, x − x3 başkadır. Problem cümlesini önce denklemle ifade et.

Payda koşulunu, işlem önceliğini ve hangi kesrin tersinin alındığını kontrol et.