Köklü Sayılar

a ≥ 0 için √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır. √9 = 3; x² = 9 denkleminin çözümleri ise ±3'tür.

Kök derecesi hangi kuvvetin tersinin alındığını belirtir. √25 ikinci dereceden, ∛27 üçüncü dereceden köktür. Karekök işaretinde 2 genellikle yazılmaz.

Karekökün sonucu sıfır veya pozitiftir; negatif bir sonuç seçilmez. Kök ifadesinin değerini hesaplamak ile bir denklemin bütün çözümlerini bulmak farklı işlerdir.

Gerçek sayılarda çift dereceli kökün içi negatif olamaz. Tek dereceli kökün içi negatif olabilir. Payda ayrıca sıfır olamaz.

√(x − 3) için x − 3 ≥ 0, dolayısıyla x ≥ 3 gerekir. Ancak 1(√(x − 3)) ifadesinde karekök paydadadır; x = 3 paydayı sıfır yapar ve x > 3 gerekir.

∛x bütün gerçek x değerleri için tanımlıdır. Birden fazla kök veya payda varsa koşulları birlikte uygula ve ortak çözüm kümesini al.

Karekökten çıkan sonuç negatif olamaz: √(a²) = |a|. a'nın işareti bilinmeden a yazılamaz.

a ≥ 0 ise |a| = a; a < 0 ise |a| = −a. Örneğin a = −5 için √(a²) = 5'tir. Tek dereceli kökte bu mutlak değer etkisi yoktur: ∛(a³) = a.

Bir kareyi kök dışına çıkarırken mutlak değeri koru. √(a²b) = |a|√b dönüşümünde b ≥ 0 olmalıdır.

Kök içindeki tam kare çarpanın karekökünü dışarı al: a ≥ 0, b ≥ 0 için √(a²b) = a√b.

Sayının tam kare çarpanını bulmak sadeleştirmeyi hızlandırır. √72 = √(36 · 2) = 6√2. Kök derecesi üçse tam küp çarpan aranır: ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.

Asal çarpanlara ayırırken karekök için eş çiftleri, küp kök için üçlü grupları dışarı çıkar. Dışarıda zaten bir katsayı varsa çıkan sayıyla çarpılır.

Sadeleştirme sonrasında kök derecesi ve kök içi aynı olan terimlerin katsayıları toplanır.

2√3 + 5√3 = 7√3; kök içindeki 3 değişmez. √2 ile √3 benzer terim değildir ve tek kökte toplanamaz. √a + √b genellikle √(a + b) değildir.

İlk bakışta farklı köklü terimler sadeleşince aynı olabilir. İşleme başlamadan bütün terimlerde tam kare çarpanları ayır.

a, b ≥ 0 için √a · √b = √(ab). Bölmede b > 0 koşuluyla (√a)(√b) = √(ab).

Kökler aynı derecedense içleri çarpılabilir. Dereceler farklıysa doğrudan aynı kökte birleştirme yapılamaz. Karekökte çarpım kuralı için her iki kökün de gerçek sayılarda tanımlı olması gerekir.

Katsayıları kendi arasında, köklü kısımları kendi arasında çarp. Sonra elde edilen kökü sadeleştir. Bölmede paydanın sıfır olmaması şarttır.

a ≥ 0 için a√b = √(a²b). a < 0 ise eksi dışarıda kalır: a√b = −√(a²b); b ≥ 0.

Pozitif katsayının karesi kök içine alınır. Negatif katsayıyı işaretiyle birlikte kök içine almak karekökün negatif olmayan sonucuyla çelişir. −2√3 = −√12, √12 değildir.

Bu yöntem pozitif köklü sayıları karşılaştırırken de işe yarar: katsayıları kök içine alıp kök içlerini karşılaştırabiliriz.

Kesrin payını ve paydasını aynı sıfır olmayan ifadeyle çarp. İki terimli köklü paydada eşleniği kullan.

1(√3) için payı ve paydayı √3 ile çarparız; payda 3 olur. İki terimli a + √b'nin eşleniği a − √b'dir; çarpımları a² − b olur.

Eşlenikle genişletirken çarpılan ifadenin sıfır olmadığını denetle. Eşlenik sıfırsa bu yöntem o biçimiyle kullanılamaz. Paydanın başlangıçta da tanımlı ve sıfırdan farklı olması gerekir.

Negatif olmayan sayılarda kare alma sıralamayı korur. √a'nın yerini bulmak için a'yı ardışık tam kareler arasına yerleştir.

16 < 20 < 25 ise 4 < √20 < 5 olur; √20'nin tam kısmı 4'tür. Köklü sayı negatifse alt ve üst tam sayı konumu ayrıca düşünülmelidir: −5 < −√20 < −4.

Negatif sayılarda işaretleri görmezden gelerek kareleri karşılaştırma. İki negatif sayıdan mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Önce tanım ve işaret koşullarını belirle. Kare alarak bulduğun adayları başlangıç denkleminde denetle.

Karekökün karşısındaki ifade negatifse eşitlik kurulamaz. √(x + 1) = x − 1 için kök içi x ≥ −1 der, fakat sağ tarafın negatif olmaması ayrıca x ≥ 1 gerektirir.

Kare alma her zaman eşdeğer dönüşüm değildir; ek adaylar üretebilir. Adayların hem tanım koşullarını hem de başlangıç eşitliğini sağlaması gerekir.

Tanım koşulunu ve sadeleştirmeyi kontrol et; seçeneği işaretledikten sonra açıklamayı incele.