EBOB ve EKOK

Pozitif tam sayılarda EBOB en büyük ortak bölen, EKOK en küçük pozitif ortak kattır.

EBOB, sayıları kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. EKOK, sayıların her birine kalansız bölünen en küçük pozitif tam sayıdır. Ortak katlardan 0, EKOK seçiminde kullanılmaz.

EBOB küçük sayıyı aşamaz; EKOK büyük sayıdan küçük olamaz. Bu iki hızlı kontrol sonucu karıştırmayı önler. Bu bölümde sayılar pozitif tam sayıdır; sıfırla ilgili farklı tanımlar kullanılmaz.

EBOB hesaplanırken yalnız bütün sayılarda bulunan asal çarpanlar seçilir; her birinin en küçük üssü alınır.

Asal çarpan, sayıyı bölen ve yalnız 1 ile kendisine pozitif böleni olan sayıdır. 1 asal değildir. Sayıyı 2, 3, 5, 7 gibi asal sayılara bölerek asal çarpanlarına ayır.

Ortak asalın küçük üssü, her sayıda bulunan ortak çarpan miktarını verir. Sayılardan birinde bir asal yoksa o asal EBOB'a alınmaz.

EKOK hesaplanırken sayılardan en az birinde bulunan her asal çarpan alınır; her birinin en büyük üssü seçilir.

Ortak kat, sayıların her birinin ihtiyaç duyduğu asal çarpanları barındırmalıdır. Bu yüzden en fazla gerekli olan üs alınır; ortak olmayan asallar da EKOK'a girer.

EBOB ile EKOK'ta seçim mantığı tersidir: ortak ve az olan EBOB; bütün ve fazla olan EKOK. Asal çarpan gösterimlerini yan yana yazarak üsleri karşılaştır.

Birden fazla sayıda da EBOB için hepsindeki ortak asalların küçük üsleri, EKOK için bütün asalların büyük üsleri seçilir.

EBOB'da bir asal çarpanın yalnız iki sayıda bulunması yetmez; bütün sayılarda bulunmalıdır. EKOK'ta ise tek bir sayıda bulunması yeterlidir.

İki sayılık çarpım bağıntısını üç sayıya doğrudan genelleme. Genel olarak EBOB(a, b, c) · EKOK(a, b, c), a · b · c'ye eşit değildir.

Pozitif tam sayılar a ve b için EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b.

Her asal çarpan için küçük üs ile büyük üssün toplamı, iki sayının üsleri toplamına eşittir. Bu nedenle EBOB ve EKOK çarpımı sayıların çarpımını verir.

Sayıların çarpımı ve EBOB biliniyorsa EKOK bulunur; EKOK biliniyorsa EBOB bulunur. Verilen bir sayıyı kullanarak diğer sayıyı ararken bulunan adayın EBOB/EKOK bilgisine uyduğunu ayrıca denetle.

EBOB'u 1 olan sayılar aralarında asaldır; bu durumda EKOK çarpımlarıdır. Biri diğerinin katıysa EBOB küçük, EKOK büyük sayıdır.

Aralarında asal iki sayının ayrı ayrı asal olması gerekmez: 8 ve 9 asal değildir ama EBOB'ları 1'dir. Ardışık pozitif tam sayılar her zaman aralarında asaldır.

İki sayı da asal diye her durumda EBOB 1 olmaz; aynı asal iki kez verilirse EBOB o asaldır. a, b'yi bölüyorsa a ortak bölen, b ortak kattır ve en uç değerleri doğrudan verir.

Büyük sayıyı küçüğe böl, sonra bölenle kalanı kullan. Kalan sıfır olana kadar devam et; son sıfır olmayan kalan EBOB'dur.

a = bq + r eşitliğinde a ve b'nin ortak bölenleri b ve r'nin de ortak bölenleridir. Bu yüzden EBOB(a, b) = EBOB(b, r) olur. Her adımda sayılar küçüldüğünden süreç biter.

Bu yöntem özellikle büyük sayılarda asal çarpanlara ayırmaktan kısa olabilir. EBOB bulunduktan sonra iki sayının çarpım bağıntısıyla EKOK hesaplanabilir.

Farklı büyüklükleri artıksız, aynı boyutta en büyük parçalara ayırmak için EBOB kullanılır.

Çubukları eş uzunlukta kesmek, farklı ürünleri aynı kapasitede paketlemek veya dikdörtgeni en büyük eş karelerle kaplamak ortak bölen problemidir. 'En büyük parça' seçilince parça sayısı en az olur.

Parça sayısını bulmak için her bütünün büyüklüğünü ortak parça büyüklüğüne böl. Kesim sayısı soruluyorsa parçayla kesimi ayır: ayrı bir çubuğu n parçaya bölmek n − 1 kesim gerektirir.

Aynı anda başlayan periyodik olayların yeniden birlikte gerçekleşme süresi, periyotlarının EKOK'udur.

12 ve 18 dakikada bir çalışan iki cihaz aynı anda başladığında 36 dakika sonra tekrar birlikte çalışır. Başlangıç anı 'yeniden' sayılmaz; belirli sürede kaç kez sorulursa başlangıcın dahil olup olmadığını açıkça belirle.

Periyot birimlerini eşitle. Olaylar farklı zamanlarda başlıyorsa yalnız EKOK yazmak yetmez; başlangıç farkını da denkleme katmak gerekir.

Aynı kalan veren bölme sorusunda sayılardan kalanı çıkarıp ortak bölen ara. Aynı kalanla kat ararken EKOK'a kalanı ekle.

Bir bölen, 95 ve 143'ü böldüğünde ikisinden de 5 kalıyorsa 90 ve 138'i tam böler. En büyük aday EBOB(90, 138)'dir; bölenin 5'ten büyük olduğu da kontrol edilir.

Bir sayı 6 ve 8'e bölündüğünde 3 kalıyorsa sayının 3 eksiği ortak kattır. Sayı EKOK(6, 8) · k + 3 biçimindedir. Büyüklük koşulu varsa k'yi ona göre seç.

Sorunun ortak bölen mi ortak kat mı istediğini belirle. Sonucu büyüklük sınırlarıyla kontrol et.