Bölme ve Bölünebilme

A tam sayı, B pozitif tam sayıysa A = Bq + r ve 0 ≤ r < B olacak şekilde tek bir bölüm-kalan çifti vardır.

A bölünen, B bölen, q bölüm ve r kalandır. Kalan bölen kadar olamaz; olsaydı bir grup daha ayrılırdı. Kalan sıfırsa bölme tamdır. Bölüm ve kalan tam sayıdır; negatif bölünenlerde de kalan bu tanımda negatif olmaz.

Bölüneni bulmak için bölenle bölümü çarp ve kalanı ekle. Bölüm veya bölen bilinmiyorsa bu eşitliği kalan koşuluyla birlikte kullan. Eşitlik tek başına yeterli değildir.

Pozitif tam sayı bölen B için en büyük kalan B − 1'dir. r kalanı verilmişse B > r olmalıdır.

'Kalan 5' bilgisi bölenin en az 6 olduğunu söyler. 'Bölüm 4, kalan 3' ise sayı 4B + 3 biçimindedir ve B ≥ 4 gerekir. Bilinmeyen bölenle ilgili eşitliği kurduktan sonra kalan sınırını denetle.

Negatif bölünende işaret konusunda alışılmış hesap makinesi çıktısıyla bu tanımı karıştırma. −17 = 5 · (−4) + 3 olduğundan −17'nin 5'e bölümünden kalan 3'tür.

İki basamaklı ab sayısı 10a + b, üç basamaklı abc sayısı 100a + 10b + c'dir; bu yazım rakamların çarpımı değildir.

Rakamlar 0 ile 9 arasındaki tam sayılardır. Sayının ilk rakamı sıfır olamaz. ab gibi rakam gösterimini cebirsel a · b çarpımıyla karıştırmamak için problemi çözerken sayının açılımını yaz.

Rakamları ters çevrilen iki basamaklı sayıların farkı 9'un katıdır: (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b). Bu ilişki bilinmeyen rakamları bulurken kullanılabilir.

2 için son rakam çift; 5 için son rakam 0 veya 5; 10 için son rakam 0 olmalıdır.

10'un katları hem 2'nin hem 5'in katıdır. 2 ve 5 için yalnız birler basamağına bakmak yeterlidir; diğer basamaklar bu sayılara tam bölünür.

Bölünebilme, kalanın sıfır olması demektir. Bir kuralın sağlanmaması başka bir sayıya bölünebilme durumunu tek başına belirlemez. Örneğin 15, 5'e bölünür ama 2'ye bölünmez.

Rakamları toplamı 3'ün katıysa sayı 3'e; 9'un katıysa sayı 9'a bölünür. Bu toplam aynı bölen için kalanı da verir.

10, 100 ve 1000 gibi basamak değerleri 3'e veya 9'a bölündüğünde 1 kalanını verir. Bu nedenle sayı ile rakamlar toplamı aynı kalana sahiptir.

9'a bölünen her sayı 3'e bölünür; tersi doğru değildir. Rakamlar toplamı büyükse yeniden rakamları toplayabilir veya doğrudan 3'e9'a bölebilirsin.

Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünüyorsa sayı 4'e; son üç basamak 8'e bölünüyorsa sayı 8'e bölünür.

100, 4'ün katı olduğundan yüzler ve daha üst basamaklar 4'e bölümde kalanı değiştirmez. Benzer şekilde 1000, 8'in katıdır; 8 için son üç basamak yeterlidir.

Son basamak grubu 04 gibi sıfırla başlıyorsa sayı değeri 4'tür. Sayı iki veya üç basamaktan kısaysa mevcut basamakların tamamı kullanılır.

Birer basamak atlayarak alınan iki rakam grubunun toplam farkı 11'in katıysa sayı 11'e bölünür; 0 da 11'in katıdır.

Birler basamağından başlayarak rakamları artı, eksi, artı, eksi biçiminde topla. Elde edilen değer 0, ±11, ±22 gibi bir sayıysa bölünebilme vardır.

Yalnız bölünebilme kontrolünde farkı ters almak sonucu değiştirmez. Gerçek kalanı arıyorsan birler basamağından artıyla başla, negatif sonucu 0 ile 10 arasında uygun kalana dönüştür.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilmek, çarpımlarına bölünebilmekle eşdeğerdir. Aralarında asal değillerse EKOK kullanılır.

6 için 2 ve 3; 12 için 3 ve 4; 15 için 3 ve 5; 18 için 2 ve 9 koşulları birlikte uygulanır. Her çift aralarında asaldır ve çarpımları hedef bölendir.

4 ve 6'ya bölünen her sayı 24'e bölünmez. Örneğin 12 ikisine de bölünür ama 24'e bölünmez. Doğru ortak bölen koşulu EKOK(4, 6) = 12 üzerinden kurulur.

Aynı pozitif bölen için sayıları kalanlarıyla değiştirerek işlem yapabilirsin; sonuçta tekrar kalan al.

A = 7q + 3 ve B = 7t + 5 ise A + B'nin kalanı 3 + 5 = 8'in 7'ye bölümünden 1; AB'nin kalanı 3 · 5 = 15'in 7'ye bölümünden 1 olur. Ara sonuç bölenden büyük olabilir.

Çıkarmada negatif ara kalanı uygun pozitif kalana çevir. Bölmede kalanları doğrudan birbirine bölmek geçerli bir kural değildir; bu anlatımda bölme yerine verilen sayı eşitliğini kullan.

Aynı bölene göre aynı kalan veren iki sayının farkı o bölene tam bölünür. Art arda aynı kalanlı sayılar bölen kadar artar.

7'ye bölümünden 3 kalanını veren sayılar 7k + 3 biçimindedir. Sayının basamak veya büyüklük koşulu k'nin alabileceği değerleri sınırlar. İlk uygun sayıyı bul, sonra 7'şer ilerle.

Bir sayıyı başka bölene bölerek kalanı ararken ilk kalanı yeni bölen için doğrudan kullanamazsın. Eski bölen yeni bölenin katıysa bu aktarım mümkündür; değilse bölüm bilgisi de etkili olabilir.

Kalanın sınırını ve birden fazla bölünebilme koşulunun kesişimini kontrol et.