Basit Eşitsizlikler

Bir eşitsizlik, iki ifadenin hangisinin daha büyük olduğunu ya da eşitliğe izin verilip verilmediğini söyler. Çözüm kümesi, bu karşılaştırmayı doğru yapan bütün değerlerden oluşur. Aksi belirtilmedikçe bilinmeyeni gerçek sayılar içinde düşünürüz.

< ve > uç noktayı dışarıda bırakır; ≤ ve ≥ uç noktayı içerir.

Sayı doğrusunda sağdaki sayı daha büyüktür. Çözümü göstermek için uygun bölgeyi işaretleriz: x > a sağ tarafı, x < a sol tarafı belirtir. Uç nokta dahil değilse boş, dahilse dolu nokta kullanılır.

Aralık yazımında normal parantez o uçtaki sayıyı dışarıda bırakır, köşeli parantez içeri alır. Sonsuzluk bir gerçek sayı değildir; −∞ ve ∞ yanında daima normal parantez bulunur.

İki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak yönü değiştirmez.

a < b ise her gerçek c için a + c < b + c olur. Her iki tarafı aynı miktarda değiştirmek aradaki sıralamayı korur. Terimi karşı tarafa geçirmek, aslında iki tarafa aynı sayıyı eklemek ya da çıkarmaktır.

Pozitif bir sayıyla çarparken veya bölerken yön korunur.

a < b ve c > 0 ise ac < bc ve ac < bc olur. Pozitif katsayıyı bölerek bilinmeyeni yalnız bırakabiliriz. Sıfıra bölme hiçbir durumda tanımlı değildir.

Negatif bir sayıyla çarparken veya bölerken eşitsizlik yönü ters döner.

a < b ve c < 0 ise ac > bc olur. Aynı değişiklik bölmede de geçerlidir. < işareti > olur; ≤ işareti ≥ olur. Eşitlik ihtimali kaybolmaz, yalnızca sıralama tersine döner.

Paydadaki eksiyi paya taşıyabilirsin: a(−b) = (−a)b; b ≠ 0. Eşit bir ifade yazmak, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

Kesrin işareti, pay ile paydanın işaretlerine bağlıdır. Negatif paydayı pozitif yaparken payın tamamının işaretini değiştir: (x − 4)−3 = (4 − x)3. Sadece bir terimin işaretini değiştirmek yanlıştır. Örneğin −12 = 1−2.

Bu dönüşüm kesrin değerini korur. Eşitsizlik yönü, iki tarafı negatif bir sayıyla çarptığında veya böldüğünde değişir; bir kesri eşitine dönüştürdüğünde değil.

a < b ve b < c ise a < c olur.

Karşılaştırmalar zincir halinde birleştirilebilir. Örneğin p < q ≤ r koşulları p < r sonucunu verir: zincirde en az bir kesin eşitsizlik varsa iki uç da eşit olamaz.

a < b ve c < d ise a + c < b + d olur.

Aynı yönde yazılan karşılaştırmalar taraf tarafa toplanabilir. İki karşılaştırma da ≤ biçimindeyse toplamda ≤ kullanılır. En az biri kesin küçükse toplam da kesin küçüktür.

Çıkarma yaparken alt sınırdan karşı ifadenin üst sınırını, üst sınırdan alt sınırını çıkarırız. Eşitsizlikleri taraf tarafa çıkarmak güvenilir bir kural değildir.

Pozitif aralıklarda uçlar çarpılabilir; işaretler karışıksa bu kuralı doğrudan kullanma.

0 < a < x < b ve 0 < c < y < d olduğunda ac < xy < bd yazabiliriz. Pozitiflik şartı önemlidir. Negatif ya da sıfırı içeren aralıklarda çarpımın en küçük ve en büyük değerini belirlemek için uç çarpımlarını ve uçların dahil olma durumunu incelemek gerekir.

Sıfırı içermeyen, aynı işaretli aralıkta 1x sıralamayı tersine çevirir.

0 < a < x < b için 1b < 1x < 1a olur. Tamamen negatif bir aralıkta da tersini alma sıralamayı tersine çevirir. Sıfırı geçen aralıkta tek bir eşitsizlik zinciri kuramayız; sıfır tanımsızdır ve iki taraf ayrı ele alınır.

Kare her zaman sıfır veya pozitiftir; negatif sayılarda sıralama aynı kalmaz.

0 ≤ a < b ise a² < b² olur. Ancak −5 < −2 karşılaştırmasına rağmen 25 > 4'tür. Bu nedenle negatif aralıkta uçların karelerini ters sırayla değerlendirmek gerekir.

Aralık sıfırı içeriyorsa x²'nin en küçük değeri 0'dır. En büyük sınır, mutlak değeri daha büyük ucun karesidir; o ucun aralığa dahil olup olmadığına ayrıca bakılır.

Karede önce 0'ın aralıkta olup olmadığına bak; üst sınır için mutlak değeri büyük ucun karesini al. Küpte sıralama korunur.

Aralık 0'ı içeriyorsa en küçük kare 0'dır ve bu değer alınabilir. Üst sınır için uçların karelerini karşılaştır: hangisi büyükse onu kullan. Örneğin −2 < x < 3 için uç kareleri 4 ve 9'dur; sonuç 0 ≤ x² < 9 olur. İki sınırın da karesini alıp 4 < x² < 9 yazmak yanlıştır; x = 0 ve x = −1 de başlangıç aralığındadır.

Aralık tamamen negatifse kareleri ters sırada yaz: 0'a yakın ucun karesi alt sınır, 0'dan uzak ucun karesi üst sınır olur. Tamamen pozitif aralıkta sıra korunur. 0 yalnızca açık bir uçsa kare için alt sınır 0 olabilir ama 0 alınamaz; örneğin −3 < x < 0 için 0 < x² < 9.

Küp alma gerçek sayılarda sıralamayı korur; negatif aralıkta da işaretleri ters çevirmeden uçların küplerini alırız. −3 < x ≤ −2 için −27 < x³ ≤ −8 olur.

Bir ifadede aynı değişkenin karesi ve kendisi varsa tam kareye tamamla; iki terimi bağımsız değişkenler gibi değerlendirme.

x² − 4x gibi ifadelerde x² ve x aynı değişkene bağlıdır. En küçük veya en büyük değeri bulurken ayrı ayrı sınırlandırmak keskin olmayan bir aralık verebilir. İfadeyi tek bir kareye dönüştürmek, iki terim arasındaki bağı korur.

x² + bx = (x + b2)² − (b2)². x'in katsayısının yarısını al, karesini ekle ve aynı miktarı çıkar. Böylece ifadenin değeri değişmez. (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b² özdeşlikleri bu işlemin temelidir.

Parantezleri aç, benzer terimleri birleştir ve bilinmeyenli terimleri aynı tarafta topla. Son adımda katsayının işaretine göre bölme yap. Sonucu aralıkla yazdıktan sonra sınır noktasını ve bir deneme değerini başlangıç ifadesinde kontrol et.

Bir zincir eşitsizlik iki koşulu aynı anda taşır. Üç tarafa da aynı toplama, çıkarma veya bölme işlemi uygulanır. Negatifle bölmede iki işaret de tersine çevrilir; ardından küçük sınır solda olacak biçimde yeniden yazılır.

“Ve” bütün koşulları, “veya” koşullardan en az birini sağlamayı ister.

Kesişimde iki çözüm kümesinin ortak kısmını seçeriz. Ortak değer yoksa çözüm boş kümedir. Birleşimde iki kümeden herhangi birine ait olmak yeterlidir; bölgeler ayrık kalıyorsa ∪ sembolüyle yazarız.

x + 4 ≤ 9 eşitsizliğinde iki taraftan 4 çıkarınca x ≤ 5 elde edilir. Gerçek sayılardaki çözüm 5 ve onun solundaki bütün sayılardır; soru doğal sayıları istediğinde bu bölgeden 0, 1, 2, 3, 4 ve 5'i seçeriz.

Soruda x'in tam sayı olduğu söylenmişse önce gerçek sayılardaki aralığı bul, sonra içindeki tam sayıları seç. En küçük uygun tam sayı m, en büyük uygun tam sayı n ise aradaki değerlerin sayısı n − m + 1'dir. Uygun tam sayı yoksa bu formülü değil, 0 sonucunu kullanırız.

Bir ifadenin hangi bölgede pozitif veya negatif olduğunu köklerinden başlayarak araştırabiliriz. Çarpım ya da bölüm varsa her bölgedeki işaretleri ayrı değerlendiririz. Tek katlı bir çarpan kökünü geçerken işaret değiştirir; çift katlı bir çarpanda işaret değişmeyebilir.

Paydanın sıfır olduğu değer hiçbir zaman çözüm olamaz. Payın sıfır olduğu değer ise ≥ veya ≤ koşulunda, payda sıfır değilse alınabilir. Bilinmeyenli paydayla doğrudan çarpmak yerine önce işaretini belirlemek gerekir.

Bir test değeri sonucu kontrol etmeye yardım eder, fakat tek bir doğru değer bütün çözüm kümesinin doğru olduğunu kanıtlamaz. Özellikle uç noktaları, tanımsız değerleri ve aralığın dışında kalan bir sayıyı da kontrol et.

Bir seçenek seçerek çözümünü kontrol edebilirsin. Yanlış yaptıysan yalnızca cevabı değil, işlemin hangi adımında yönün ya da sınırın değiştiğini incele.